@CrossBow_EXE

一，结论

就是判断将 $x$ 赋值为所有这个式子 $0$ 次项的因子 $d$ 是否使本式子等于 $0$。

这样 $x-d$ 为此式的一个因式。

如 $x^2+5x+6$，代入 $x=-2$，发现此式为 $0$，代入 $x=-3$ 相同。

于是求得本式可分解为 $(x+2)(x+3)$。

二，证明

首先，先证明使得 $f(x)=0$ 的所有 $d$ 都满足 $x-d$ 是因式。

根据多项式除法，$f(x)=(x-d)q(x)+r$。

其中 $r$ 是余式，是个常数。

将 $x=d$ 代入以上式子,化简可得 $r=0$。

故 $x-d$ 是 $f(x)$ 的因式，得证。

第二，证明能使得 $f(x)=0$ 的整数 $d$ 都是 $f(x)$ 的 $0$ 次项的因数。

设 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$。

将 $d$ 代入得 $0=a_nd^n+a_{n-1}d^{n-1}+\dots+a_1d+a_0$。

所以 $-a_0=a_nd^n+a_{n-1}d^{n-1}+\dots+a_1d$。

然后推得 $-a_0=(a_nd^{n-1}+a_{n-1}d^{n-2}+\dots+a_1)d$。

所以 $d$ 为 $a_0$ 因数，得证。

故所有的玩意证明完毕