听说灌水区人多，点进来了就看一下我的二项式哪推错了吧：

首先，我们有“至少”和“恰好”的转换，不妨称作“形式 $1$”：

$$f(x) = \sum _ {i = x} ^ n \binom{i}{x} g(i) \Longleftrightarrow g(x) = \sum _ {i = x} ^ n (-1)^{i - x} \binom{i}{x} f(i)$$

其中 $f(x)$ 表示 $n$ 个限制中，至少满足 $x$ 个，而 $g(x)$ 表示恰好。

我想用这个模型推导“至多”和“恰好”的关系，具体如下：

至多满足 $x$ 个条件，可以看做至少不满足 $n - x$ 个条件，记 $f(x) = f'(n - x)$，其中 $f'$ 就符合形式 $1$ 的“至少”模型了。有 $f'(x) = \sum \limits _ {i = x} ^ n \dbinom{i}{x} g'(i)$，其中 $g'(x)$ 表示恰好不满足 $x$ 个条件，相当于 $g(n - x)$，即恰好满足 $n - x$ 个条件。可以得到：

$$\begin{aligned} f(n - x) &= \sum \limits _ {i = x} ^ n \dbinom{i}{x} g(n - i) \\ f(x) &= \sum \limits _ {i = n - x} ^ n \dbinom{i}{n - x} g(n - i) \\ &= \sum \limits _ {i = 0} ^ x \dbinom{n - i}{n - x} g(i) \\ \end{aligned}$$

但是这个和：

$$f(x) = \sum \limits _ {i = 0} ^ x \dbinom{x}{i} g(i)$$

似乎不相等。搜索无果，AI 乱叫。

我当然知道可以一步到位给出 $f$ 关于 $g$ 的表达式，但是我到底哪里推错了？

可能是一些纸张的错误……