前言

• 受 @蒟蒻烟雨平生 之托，有此证明。

• 原创内容，首次发表于洛谷。

• 文章可能有论证不严谨的地方，但主要目的是通俗易懂（初一学生一定能读懂）。并且笔者认为不存在大的漏洞，如果有不严谨的地方请指出。

结论

对于一个周长固定的四边形，正方形面积最大。

思路

• 你当然可以使用三角函数的方法证明之，不过我们使用分类讨论逐步调整的方法证明。

• **对于一个非正方形（四边形），我们总有办法使得在周长不变的前提下，面积变大。**如果该命题得证，我们就间接完成了“对于一个周长固定的四边形，正方形面积最大”的证明，容易得到，这两者是等价的。

证明

一、对于一个凹四边形

• 显然我们可以将凹进去的那部分翻折出去，面积变大。

• 第一部分证毕。

二、对于凸四边形

• 引理:确定一边及周长时，等腰三角形面积最大（证明从略）。

• 对于四边形$ABCD,$我们连接$BD$作为底，同时“拉动”$A$点（学过圆锥曲线的同学就知道轨迹是一个椭圆，不过如果你不知道也无所谓），一直到$A'$到达$BD$的中垂线上，由引理，三角形的面积变大。

• 补充（你可以不断地进行此操作，四边形的面积会不断变大，当新的四边形变成正方形时不可继续操作。）

• 第二部分证毕。

综上，命题得证。

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补充说明

你可以推而广之，容易得到对于$n$边形，周长一定的情况下，正$n$边形的面积最大。证明类似。

（事实上，如果我们令$n->inf,$我们可以得到园的情形