给一个正整数 $n(n>1)$，求一 $k$ 使得存在长度为 $k$ 的正整数序列 $a$，$\prod\limits_{i=1}^k \displaystyle\frac{a_i+1}{a_i}=n$。

现给定 $n$，求 $k$ 的最小值。

今天我们毒瘤的数学老师出了这么一道毒瘤思考题，我想到一个看上去正确的解：

$k$ 的最小值为 $k$ 在二进制表示下的位数+1的个数-2。

这个在大部分情况下是对的，但是有个例外：$27$。

$27=16+8+2+1=(11011)_2$，按上解算得 $k=5+4-2=7$，然而 $k$ 可以取 $6$：

$27=\displaystyle\frac{2}{1}*\frac{2}{1}*\frac{2}{1}*\frac{3}{2}*\frac{3}{2}*\frac{3}{2}$

所以该毒瘤题的解法是什么？