设我们枚举的系数为 $k$，题目等价于判断 $n-k\times p$ 能否被拆成 $k$ 个 $2$ 的次方数之和。结论是需满足 $\text{pop\_count}(n-k\times p)\le k\le n-k\times p$。那么这段区间内的取值一定都能被取到吗？

首先下界是显然的。将 $n-k\times p$ 写成二进制形式，记其中为 $1$ 的位数总数为 $\text{pop\_count}(n-k\times p)$，那么你至少需要这么多个二进制数相加。

那么如果这些数不够多怎么办？我们任选其中一个二进制数 $2^x$，将其拆作 $2^{x-1}+2^{x-1}$，就可以使数的总数增加 $1$。但我们不能无限地拆下去，当且仅当我们把这些数都拆成了 $1$，总共 $n-k\times p$ 个 $1$ 时，不能继续拆下去了。故上界为 $n-k\times p$，并且区间的取值是连续的。