为什么一定需要“先手不能左移，后手不能右移”的限制？

  个人认为加或不加这条限制，题目是等价的。即，先手没必要左移，后手没必要右移。证明方面，令 $d_i$ 为第 $i$ 个白子与第 $i$ 个黑子的距离，如多数题解，我们是在对 $\{d_{k/2}\}$ 进行 K-Nim 游戏。此时若将第 $i$ 个白子左移 $t$ 格，有 $d_i\leftarrow d_i+t$，且这步操作是必要的，就会有：

1. 这步操作前的状态是 P；

2. 所有“取石子”（白子右移）的操作只能转移到 P；

3. 这步操作能转移到 N。

  然而 1. 与 3. 会得到奇怪的结论：令第 $i$ 个黑子左移 $t$ 格，得到与这步操作前一样的状态，也是 P，且由 2.，所有“取石子”只能转移到 P，也就是说此时先手还是必须进行左移操作。但显然可行的左移次数是有限的，先手存在一个无法操作的时刻，所以矛盾。当然，”后手没必要右移“的证明同理。

  顺便，有的讨论说去掉这条限制会导致循环操作，但是手握胜态的玩家没必要和另一个人不停循环呐。

  现在说明了这条限制是不必要的，不过若原题有限制也无伤大雅，更离谱的是第一篇题解的各种错误：

题面显然有误，如果允许白往左、黑往右，这游戏玩不完。

  上面已经讨论了，姑且算是小问题。

这种类型问题有个结论：$SG[x]=x\%(d+1)$。

  题目应该是“每次可从 $d$ 堆石子里选”，而上式表述的是“每次可从一堆石子里选 $1\sim d$ 个”，显然不等价，例如 $d=1$ 就有悖于经典 Nim。

即题目本质是要 各堆石子个数异或和 $\%(d+1)=0$。

  不管是从上面那条错误结论，还是从正确结论，都推不出这玩意儿吧……之后这篇题解从没有正确性可言的推导得到了正确的 DP，这应该是缘分。（

  所以希望撤下 这篇题解 吧 awa。