之前看过一句话：生成函数不需要考虑函数的收敛性，我对这句话十分的不理解。

总所周知：

$1+x+x^2+x^3+x^4+....=\frac{1}{1-x}$

但是如果考虑上收敛性，这个函数成立的条件是：$-1<x<1$

右边的式子通过泰勒展开展开成左边的式子。

在 $x≤-1$ 或者 $x≥1$ 的时候左边的式子是无意义的，那么这样还能说这两个式子相等吗，再者上面的式子在 $x=2$ 处的泰勒展开是：

$-1+(x-2)-(x-2)^2+(x-2)^3-....$

这个式子和 $\frac{1}{1-x}$ 也是相等的吗？

简而言之，我不能理解为什么生成函数的展开与合并是可以忽略收敛性的。

我曾经考虑过也许是因为存在 $-1<x<1$ 这个区间他们两个是相等的，但是如果两个生成函数之和且收敛区间不重叠，通过生成函数的展开与合并搞成了另外一个生成函数，这样左右式子是相等的吗？

我一直觉得生成函数很神奇，这也是为什么我学不懂的原因，求求各位救救孩子吧，孩子的OI生涯只剩一年了。