对于任意正整数 $n$，若正实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 使得 $\sum\limits_{i=1}^nx_i=1$，求

$\sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i}{\sqrt{\sum\limits_{j=1}^ix_i}}$

的最大值。

我的做法：把 $x_i$ 拆成 $a$ 和 $b$，原式变大，所以可以不断地拆直到 $n\to\infty$ 且 $x_i$ 都足够小，此时原式即为

$\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\ \mathrm{d}x=2.$

问下神仙们，有没有初等证法（纯不等式证法） /kel