设正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足 $a_1+a_2+\cdots+a_n=1$，求

$\sum\limits_{i=1}^n \frac{a_i^3}{a_i^2+a_{i+1}a_{i+2}}$

的最小值。

顺便捞一下之前的一个不等式