这道题目我是循环 $10^8$，如果循环次数超过 $10^8$ 仍然能够兑换新的汽水则视为可以无限白嫖。然后提交了之后就对了~~

但是我不到怎么证明为什么是对的、

所以 我的问题 是：

理论上我循环（买汽水+喝汽水）到一定次数如果还能兑换新的汽水，那么我就是可以无限白嫖的，如果到这个次数之前就不能兑换新的汽水了那么就说明不能无限白嫖。

求这个循环次数的上限？

但是想了半天不知道怎么证明。题解里有一篇说上限是 $2.8 \times 10^7$，但是不知道如何证明。

求大佬帮忙证明，万分感谢：）