定义一个 nnn 的划分 λ\lambdaλ(记作 λ⊢n\lambda\vdash nλ⊢n)是一个正整数的无序列表 {λ1,λ2,...,λℓ}\{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_{\ell}\}{λ1,λ2,...,λℓ},其所有元素之和为 nnn。
定义 f(λ)f(\lambda)f(λ) 是 λ\lambdaλ 中“2”的数量,即 ∑i=1ℓ[λi=2]\sum_{i=1}^{\ell}[\lambda_i=2]∑i=1ℓ[λi=2]。
定义 g(λ)g(\lambda)g(λ) 是 λ\lambdaλ 中恰好只出现一次的元素的数量,即 ∑i=1n[1=∑j=1ℓ[λj=i]]\sum_{i=1}^n[1=\sum_{j=1}^{\ell}[\lambda_j=i]]∑i=1n[1=∑j=1ℓ[λj=i]]。
求用双射法证明: