$$F(x)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\left[i^j=x\right]$$

求$\sum_{x|k}F(k)$

我的做法：设这一团东西为$G(x)$

$$G(x)=\sum_{x|k}F(k)$$ $$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\left[x|i^j\right]$$ $$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\left[1\Big|\frac{i^j}{x}\right]$$

然后就不会了。

但是我觉得如果$x|i$，那么当$j>0$的时候全都满足，因此结果是不是类似于

$$n\times\lfloor\frac{n}{x}\rfloor$$

？

或者说有没有一个更加准确的结果？