题目：

已知 $ax^3=by^3=cz^3$，$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$，求证： $\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$。

最好有完整的解题过程，谢谢！！