设

$a\ =\ p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$ $b\ =\ p_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots p_r^{f_r}$ 则 $\gcd(a,b)\ =\ p_1^{\min(e_1,f_1)}p_2^{\min(e_2,f_2)}\cdots p_r^{\min(e_r,f_r)}$ $\text{lcm}(a,b)\ =\ p_1^{\max(e_1,f_1)}p_2^{\max(e_2,f_2)}\cdots p_r^{\max(e_r,f_r)}$

这如何严谨证明