• 假设有一个抽奖系统。你花 $x$ 元抽奖，有 $\frac{1}{3}$ 的概率获得 $2x$ 元， $\frac{2}{3}$ 的概率不得奖。

• 显然，可以得到它的数学期望值：

$E=\frac{1}{3} \times 2x+\frac{2}{3} \times 0 -x=-\frac{1}{3} x$

• 看上去，如果抽非常多次奖，那肯定是稳赔不赚的。

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现在假设有一个理想的银行，他能无限制无利息地给你贷款。

如果我们用下面的方式进行抽奖：

• 第 $i$ 次投入 $2^{i-1}\times a$ 元，直到中奖为止。

假设到第 $p$ 轮的时候，抽奖终止。此时，我们一共借了

$A=a\times \sum_{i=1}^{p}2^{i-1}=a\times 2^p-a$

但是最后一次，我们抽中了，一共获得了

$B=2a\times 2^{p-1}=a\times 2^p$

我们能够发现， $B>A$ ，我们赚了 $a$ 块钱。这与前面提出的稳赔不赚好像很矛盾。

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考虑在前 $p$ 轮中回本的概率。可以发现，概率就是 $1-\left(\frac{2}{3}\right)^p$ 。

只要赢一局就终止游戏，能获得 $a$ 元，否则会损失 $a\times (2^p-1)$ 元。于是，我们又计算出了另一个期望：

$E'=a-a\times \left(\frac{2}{3}\right)^p-a\times (2^p-1)\times \left(\frac{2}{3}\right)^p$

这玩意肯定是小于 $0$ 的，也就是说，我们还是稳赔不赚。

但是我们发现，赚不到 $a$ 元的概率是 $\left(\frac{2}{3}\right)^p$ ，而 $p$ 似乎可以取得很大（比如 $100,200$ 之类）。因为游戏可以不停进行，所以似乎总是可以获得 $a$ 元。但是根据数学期望，似乎肯定要赔本。

然后我就不知道问题到底出在哪了/fad