inline ll Mul(ll a,ll b,ll mod)
{
	ll ret=a*b-(ll)((long double)a*b/mod+0.5)*mod;
	return ret<0?ret+mod:ret;
}

以上代码可以在$O(1)$的时间内完成两数乘法的取模，其中模数达到了long long级别，且这种方法能够求出正确的结果。

最近复习数论，用到了这个小技巧。我想知道他的原理，于是上网百度了一下，发现这出自一个国集论文。

以下是原文：

为了下面叙述方便，记

A=a*b;
B=(ll)((long double)a*b/mod+0.5)*mod;

现在我已经理解到，对于$A,B$关于long long 溢出的部分之间的差只可能是$0$或$1$。那么根据论文的意思，可以如下分类：

• 如果差为$0$，$A,B$中long long能保留的部分直接做差是可以求出正确结果的。
• 如果差为$1$，按照论文中的解法，$A-B$在long long中保留的部分是个负数。此时我们对答案加上$mod$也能求出正确答案。

我对差为$1$这个分类有些困惑。下面我将举一个例子描述我的困惑：

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假设有一个数据类型,他只能存储0到9。

我们用这个快速乘的原理计算$3 \times 4\%7$的值。

先算$3 \times 4$。由于他爆了这个数据类型,所以结果是$2$。

再算 $\left\lfloor\dfrac{3\times 4}{7}\right\rfloor\times 7$。 按照快速乘,由于计算这个值得时候用到了long double ,所以会算出精确值$7$。

根据这行代码：

return ret<0?ret+mod:ret;

会算出答案$2- 7 + mod= 2- 7+7= 2$

可事实上$3\times 4\%7 = 5$。

请问我的理解哪里有问题?

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另外，我对long double那一块的原理已经清楚了，不需要再解释了。

请不要有无意义回复，谢谢