在写莫队的时候，常用到这样的四个循环（以下代码摘自 OI Wiki 普通莫队算法）：

while (l < a[i].l) del(c[l++]);
while (l > a[i].l) add(c[--l]);
while (r < a[i].r) add(c[++r]);
while (r > a[i].r) del(c[r--]);

在有些题目中，我们需要保证 $[l,r]$ 在移动端点的过程中始终是合法区间，即 $l\le r+1$ 恒成立（$l=r+1$ 表示空区间）。此时，每个元素被加入的次数都是非负整数。

因为考虑莫队区间的移动过程，从开始到这时，相当于加入了 $[1,r]$ 的元素又再删除了 $[1,l-1]$ 的元素，因此：

• 对于 $l\le r$ 的情况，$[1,l-1]$ 的元素相当于被加入了一次又被删除了一次，$[l,r]$ 的元素被加入一次，$[r+1,+\infty)$ 的元素没有被加入
• 对于 $l=r+1$ 的情况，$[1,r]$ 的元素相当于被加入了一次又被删除了一次，$[r+1,+\infty)$ 的元素没有被加入
• 如果 $l>r+1$，那么 $[r+1,l-1]$（这个区间非空）的元素被删除了一次但没有被加入，因此这个元素被加入的次数是负数

上面我们证明了，如果某时刻出现 $l>r+1$ 的情况，那么会存在一个元素的加入次数是负数。这在某些题目会造成问题，例如我们如果用一个 set 维护区间中的所有数，就会出现“需要删除 set 中不存在的元素”的问题。

综上，很多时候保持 $l\le r+1$ 始终成立是必要的。

然而，上面这种典型的写法不能保证 $l\le r+1$ 恒成立。令 $l'$ 表示 a[i].l，$r'$ 表示 a[i].r，那么当 $l<r<l'<r'$ 时，上面的写法会先将左端点右移到 $l’$，可能造成 $l>r+1$。

这四个循环一共有 $4!=24$ 种排列顺序，我枚举了第一个循环是操作左端点的这 $12$ 种排列（另外 $12$ 种是对称的），并写出了正确性和反例。

循环顺序	正确性	反例
l--,l++,r--,r++	错误	$l<r<l'<r'$
l--,l++,r++,r--	错误	$l<r<l'<r'$
l--,r--,l++,r++	错误	$l<r<l'<r'$
l--,r--,r++,l++	正确
l--,r++,l++,r--	正确
l--,r++,r--,l++	正确
l++,l--,r--,r++	错误	$l<r<l'<r'$
l++,l--,r++,r--	错误	$l<r<l'<r'$
l++,r++,l--,r--	错误	$l<r<l'<r'$
l++,r++,r--,l--	错误	$l<r<l'<r'$
l++,r--,l--,r++	错误	$l<r<l'<r'$
l++,r--,r++,l--	错误	$l<r<l'<r'$

因此，$24$ 种排列中只有 $6$ 种是正确的，其中有 $2$ 种的证明较繁琐，这里只给出其中 $4$ 种的证明。

这 $4$ 种正确写法的共同特点是，前两步先扩大区间（l-- 或 r++），后两步再缩小区间（l++ 或 r--）。这样写，前两步由于是扩大区间，因此区间一定不会变非法；执行完前两步后，$l\le l'\le r'\le r$ 一定成立，此时执行后两步只会把区间缩小到 $[l',r']$，不会造成区间不合法。

翻阅此题的题解，许多题解的写法是前两种（先操作左端点，再操作右端点）或后六种（第一步就是缩小区间），这些写法虽然在此题可能不会造成很大问题，但由于此题有莫队模板的性质，可能会造成新学莫队的 OIer 此后写莫队时出错。

而 OI Wiki 上更是用粗体标出“注意：由于 ++l 和 --r 的存在，下面代码中的移动区间的 4 个 for 循环的位置很关键，不能改变它们之间的位置关系”，我认为这个错误比较严重。如果我的这些讨论没有错误，我将到 OI Wiki 上对此段代码进行修改。

本人水平有限，以上内容如有错误，敬请指正。