算了一下 $n=6$ 时的 $\sum f$ , $f(p^k)=p \text{ xor } k$。
其中 $f=h*g$ , $g$ 构造为 $\phi$。
按照 $\text{PN}$ 和杜教筛的逻辑 , 根据 $\sum\limits^n_{i=1} f(i)=\sum\limits^n_{d=1} h(d)\sum\limits^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}_{i=1}f(i)$ , 得出: $\sum\limits^6_{i=1} f(i)=h(1)(\sum\limits^{6}_{i=1} \phi(i))+h(2^2)\phi(1)=\sum\limits^{6}_{i=1} \phi(i)+h(2^2)$。

其中 $\sum\limits^{6}_{i=1} \phi(i)=12$。
因为有 $h(2^0)=1 , h(2^1)=0,\phi(2^0)=\phi(2^1)=1,\phi(2^2)=2$。
又因为 $f=h*g$ , 所以 $h(p^k)=f(p^k)-\sum\limits^{k-1}_{d=0}h(p^d)g(p^{k-d})$ , 代入 $p=2$ , $k=2$。
$h(2^2)=f(2^2)-h(2^0)\phi(2^2)-h(2^1)\phi(2^1)=2 \text{ xor } 2-2-0=-2$。

而原本期望的 $h(2^2)$ 应该为 $4$ 。。。。