最近学习了多项式的牛顿迭代法，在尝试推 exp 的时候用了一个比较奇怪的操作：

假设需要求 $A$ 的 exp，设 $B=e^A$，那么就有 $\ln B-A\equiv 0~(~{\rm{mod}}~x^n)$。假设现在已经求出了 $\ln B_0-A\equiv 0~(~{\rm{mod}}~x^\frac{n}{2})$，考虑用 $B_0$ 推出 $B$。

对 $\ln B$ 牛顿迭代，那么就有 $\ln B=\ln B_0+\ln' B_0\cdot(B-B_0)+\frac{\ln'' B_0\cdot(B-B_0)^2}{2}...$，然后对 $x^n$ 取模，就有 $\ln B\equiv\ln B_0+\ln' B_0\cdot(B-B_0)~(~{\rm{mod}}~x^n)$，带回原式，就有 $\ln B_0+\ln' B_0\cdot(B-B_0)-A\equiv~(~{\rm{mod}}~x^n)$。因为 $\ln' x=\frac{1}{x}$，所以就得到了 $B\equiv B_0\cdot(A+1-\ln B_0)~(~{\rm{mod}}~x^n)$

然后就这样得到了 exp 的递推式，而且还是对的……

并且在这样得到正确的递推式之后，尝试着把它用去求逆，也就是设 $B=A^{-1}$，那么 $\frac{1}{B}-A=0$，然后求出 $B_0$ 后对 $\frac{1}{B}$ 进行牛顿迭代，最后也可以得到多项式求逆的正确递推式。

虽然这样可以得到正确结果，但是感觉很奇怪，因为好像网上大多是对 $\ln B-A=0$ 这个整体进行牛顿迭代的，也不知道我的做法的正确性，故向各位神犇求助。

感激不尽！！！