我在 MO 课上和另外两个同学玩一种奇怪的游戏，想到了一个关于它的问题，然后进行了一波抽象，得到了下面的问题：

已知 $\forall i\ge1$，$f_{i,0}=1,f_{0,i}=0$，$f_{0,0}=f_{1,1}$，且 $\forall i,j\ge 1$，$f_{i,j}=\dfrac{\max\{f_{i+1,j+1}+f_{i+1,j-1},f_{i-1,j-1}+1,f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j+1}\}}3$

求 $f_{0,0}$ 的值。

这东西能做吗 /yiw

（注：所有 $f_{i,j}$ 都是某个概率）