对于哪些正整数 $n$，$x^n+y^{n+1}=z^{n+2}$ 存在正整数解 $(x,y,z)$？

我自己已经推出 $n=2$ 和 $n=2k-1$ 是存在的（$27^2+18^3=9^4$，$\left(2^{2k^2}\right)^{2k-1}+\left(2^{2k^2-k}\right)^{2k}=\left(2^{2k^2-2k+1}\right)^{2k+1}$），其他偶数是否存在呢？能否 构造出来/证明不存在？