对于正整数 $n$，设 $D(n)$ 为 $n$ 的十进制数字中去掉所有“0”后的数字集合。定义函数 $f: \mathbb{N}^{+} \rightarrow \mathbb{N}^{+}$ 如下：

$f(n)=\left\{\begin{array}{ll}\prod_{d \in D(n)} d & \text { if }|D(n)| \geq 2, \\2 & \text { if } D(n)=\{1\}, \\d^{2} & \text { if } D(n)=\{d\}, d \neq 1 .\end{array}\right.$

猜想：
对于任意正整数 $n$，存在非负整数 $k$ 使得迭代序列 $\left\{f^{i}(n)\right\}_{i=0}^{\infty}$ 满足：

$\forall m \geq k, \quad f^{m+3}(n)=f^{m}(n)$

并且：

$\left \{ f^m(n) \right \}_{m\geq k} =(8,64,24,8,64,24,…)$

即：

$\forall n \in \mathbb{N}^{+}, \exists k \geq 0 \text { such that }\left\{\begin{array}{l} f^{k}(n)=8, \\ f^{k+1}(n)=64, \\ f^{k+2}(n)=24, \\ f^{k+3}(n)=8, \\ \vdots \end{array}\right.$

有人能证明吗。

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