数学笔记整理

等差数列

1. 基础概念与公式

   • 递推关系式：aₙ₊₁ = aₙ + d，其中aₙ为第n项的值，d为公差。
   • 通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d 或 aₙ = aₘ + (n-m)d。
   • 公差计算：d = (aₙ - aₘ) / (n - m)。
   • 项数计算：n = (aₙ - a₁) / d + 1 或 n = (aₙ - aₘ) / d + m。
   • 性质：若p + q = m + n，则aₚ + a_q = aₘ + aₙ。
   • 求和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2 或 Sₙ = (aₙ₊₁₋ₘ + aₘ) × n / 2。

2. 等差与等比数列的混合问题

   • 设{aₙ}为等差数列，{bₙ}为等比数列，{cₙ} = {aₙ × bₙ}，求Sₙ。

3. 平方和与立方和公式

   • 平方和：1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6。
   • 立方和：1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)² = n²(n+1)²/4。

4. 不定方程

   • 一般形式：ax + by = c。
   • 解法：
     1. 先求一个特解(x₀, y₀)。
     2. 通解为x = x₀ + b×k，y = y₀ - a×k，其中k为整数。

等比数列

1. 基础概念与公式
   • 递推关系式：aₙ₊₁ = aₙ × q，其中q为公比。
   • 通项公式：aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹。
   • 求和公式：
     • 当q = 1时，Sₙ = n × a₁。
     • 当q ≠ 1时，Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1)。
     • 若0 < q < 1，当n→∞时，Sₙ → a₁/(1 - q)。