在 $\triangle ABC$ 中 $b=3c,S_{\triangle ABC}=2$，求 $a$ 的最大值。 我的思路是先由面积表示出 $b^2=\frac{12}{\sin A}$ ，则 $\cos{A}=\frac{\sqrt{b^2-12}}{b}$，用余弦定理表示出 $a^2=\frac{10b^2-6\sqrt{b^2-12}}{9}$，把 $b^2$ 换元，用万能 $k$ 法，令 $上面那坨 = 2k$ ，移项两边平方，用 $\Delta$ 算出 $k\ge54$（另一根显然舍去），$a\ge\sqrt{3}$。而正解是把余弦定理中的 $b^2$ 用 $\sin A$ 代换，用柯西不等式解得 $a\ge\frac{2\sqrt{6}}{3}$。我的计算过程应该没有问题，也没有扩大定义域，因为算得的最值比答案大。考试的时候脑子短路没想到用三角表示，而且 $\Delta$ 刚好可以十字相乘，算了两遍都一样，所以就觉得是对的。求助我哪里出错了。