给你一个椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 和直线 $l:(y-v)=k(x-u)$。 其中 $k$ 为不确定的值，$u,v$ 是输入的值。 设 $E,l$ 的交点为 $A,B$。 求 $S_{\triangle OAB}$ 的最大值。

根据硬解定理，有 $|AB|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{b^2+k^2a^2}\sqrt{k^2+1}$。
并且 $l$ 到原点的距离是 $\dfrac{|ku+v|}{\sqrt{k^2+1}}$。
$\therefore S=ab\dfrac{\sqrt{k^2u^2+2kuv+v^2}\sqrt{b^2+k^2a^2-k^2u^2-2kuv+v^2}}{b^2+k^2a^2}$

直接均值得原式最大值为 $\dfrac 1 2ab$。
如果不可取等，即方程 $k^2u^2+2kuv+v^2=b^2+k^2a^2-k^2u^2-2kuv+v^2$ 无实根。
即 $\Delta<0$，也即 $2u^2b^2+2v^2a^2<a^2b^2$ 时，
原式最终可以化简为 $ab\sqrt{t-t^2}$，其中 $t=\dfrac{k^2u^2+2kuv+v^2}{b^2+k^2a^2}$。
发现 $t$ 取 $\dfrac 1 2$ 时原式最大为 $\dfrac 1 2ab$，但因为均值不可取等，所以取不到 $\dfrac{1}{2}ab$。
所以 $t$ 此时的取值范围应该是多少？如果不可取等，那么这个面积的最大值的表达式又是什么？

（那个“硬解定理”不知道有没有这个说法，可能是我们老师自己的叫法，其实就是直线与椭圆的焦点的横/纵坐标之和、之积以及差的绝对值的计算公式，本质是韦达定理）